Fulleren

Vom Kohlenstoff sind seit langem zwei reguläre Modifikationen bekannt, der Diamant und das Graphit. Seit wenigen Jahren kennt man auch ein Kohlenstoffmolekül, und zwar C₆₀, das nach dem Architekten Buckminster Fuller als Fulleren bezeichnet wird. Mit dem Fußball hat es gemeinsam, dass die Ecken des Ikosaederstumpfes vorkommen.

Im Fulleren-Molekül hat jedes Kohlenstoffatom drei Nachbarn, mit zweien ist es anderthalbfach verbunden (wie im Benzol mit seinen C-Nachbarn) und mit dem jeweils dritten einfach (wie in Alkanen).

Der Ikosaederstumpf hat 60 Ecken, 90 Kanten (gleicher Länge) und 32 Flächen, von denen 20 Sechsecke und 12 Fünfecke sind.

Fulleren-Gerüst:

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Fulleren-Bindungen:

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Fulleren-Gerüst mit Hüllen:

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Wenn man von einem Ikosaeder die Ecken immer weiter abschneidet, kann man bis zum Ikosidodekaeder kommen (bei dem an jeder Ecke sich zwei reguläre Dreiecke und zwei reguläre Fünfecke abwechseln), auf halbem Wege kommt man aber zum gleichseitigen (d.h. alle Kanten sind gleich lang) Ikosaederstumpf:

Variabler Ikosaederstumpf:

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Wie zeichnet man das Fußball-Molekül mit dem Computer? Zuerst erzeugt man das Bild eines Ikosaeders. Dessen 12 Ecken bekommt man, wenn man zwei Längen a und g nimmt, deren Verhältnis der goldene Schnitt ist (d.h. a : g = g : (a+g), so dass also g/a = (1+(5))/2 ist) und daraus die Ecken mit den kartesischen Koordinaten (0, ±a, ±g), (±a, ±g, 0) und (±g, 0, ±a) aufstellt.
Man kann sich dazu auch drei gleiche Karton-Rechtecke mit dem goldenen Schnitt als Seitenverhältnis vorstellen, die man schlitzt und ineinandersteckt.

Ikosaeder-Konstruktion:

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Man kann leicht ausrechnen, dass es unter den Abständen zwischen je zwei Ecken genau 30 mit der gleichen Länge 2 a gibt. Das sind die Seiten des Ikosaeders, das also von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird. In jeder Ecke treffen 5 Seiten zusammen. Drittelt man nun die Seiten, so gibt es 60 neue Ecken. Je 5 von ihnen liegen um eine alte Ecke herum um bilden ein reguläres Fünfeck. Dessen Seiten schneiden von den Dreiecken kleine Dreiecke ab und lassen somit von jeder Ikosaederfläche ein reguläres Sechseck übrig. Die Figur mit den 60 Ecken ist also der Ikosaederstumpf, an dessen Ecken je drei Seiten und zwischen ihnen zwei Sechsecke und ein Fünfeck zusammentreffen. Tatsächlich ist der reguläre Ikosaederstumpf eindeutig dadurch gekennzeichnet, dass er nur solche Ecken hat, in denen jeweils ein reguläres Fünfeck mit zwei regulären Sechsecken zusammentrifft (wenn man außerdem voraussetzt, dass alle Ecken zur selben Seite zeigen sollen).

Der Ikosaederstumpf gehört zu den archimedischen Körpern, die eine Umkugel und eine Kanten-Berührkugel haben und mit regulären Polyedern (mehrerer Sorten, hier sind es zwei) begrenzt sind.